- 1. Gauso elektros dėsnis
- 2. Gauso magnetizmo dėsnis
- 3. Faradėjaus indukcijos dėsnis
- 4. Ampero įstatymas
Maksvelo lygtys yra elektromagnetinės teorijos pagrindai, sudarantys keturių elektrinių ir magnetinių laukų lygčių rinkinį. Užuot išvardinę Maxwell lygčių matematinį vaizdavimą, šiame straipsnyje sutelksime dėmesį į tai, kokia yra tikroji tų lygčių reikšmė. Pirmoji ir antroji „Maxwell“ lygtis nagrinėja statinius elektrinius laukus ir statinius magnetinius laukus. Trečioji ir ketvirtoji „Maxwell“ lygtis nagrinėja atitinkamai magnetinių laukų ir elektrinių laukų keitimą.
„Maxwell“ lygtys yra šios:
- Gauso elektros dėsnis
- Gauso magnetizmo dėsnis
- Faradėjaus indukcijos dėsnis
- Ampero įstatymas
1. Gauso elektros dėsnis
Šis įstatymas teigia, kad elektros srautas iš uždaro paviršiaus yra proporcingas visam to paviršiaus uždarytam krūviui. Gauso įstatymas susijęs su statiniu elektriniu lauku.
Apsvarstykime teigiamo taško krūvį Q. Mes žinome, kad elektros srauto linijos yra nukreiptos į išorę nuo teigiamo krūvio.
Panagrinėkime uždarą paviršių su pripučiamo Q uždarą jame. Ploto vektorius jam visada parenkamas Normalus, nes jis atspindi paviršiaus orientaciją. Tegul elektrinio lauko vektoriaus ir ploto vektoriaus padarytas kampas yra θ.
Elektros srautas. Yra
Taškinio sandaugos pasirinkimo priežastis yra ta, kad turime apskaičiuoti, kiek elektros srautas praeina per paviršių, kurį vaizduoja įprasto ploto vektorius.
Iš kulombų dėsnio mes žinome, kad elektrinis laukas (E) dėl taškinio krūvio yra Q / 4πε 0 r 2.
Atsižvelgiant į sferinę simetriją, Gauso dėsnio integralinė forma yra:
Todėl elektros srautas Ψ = Q uždaras / ε 0
Čia uždaras Q žymi visų paviršiaus viduje esančių krūvių vektorinę sumą. Krovinį gaubiantis regionas gali būti bet kokios formos, tačiau norint pritaikyti Gauso dėsnį, turime pasirinkti simetrišką ir vienodą krūvio pasiskirstymą Gauso paviršių. Gauso paviršius gali būti cilindrinis arba sferinis arba plokštuminis.
Kad gautume jo diferencialinę formą, turime taikyti divergencijos teoremą.
Aukščiau pateikta lygtis yra diferencinė Gauso dėsnio arba Maksvelo I lygties forma.
Pirmiau pateiktoje lygtyje ρ reiškia tūrio krūvio tankį. Kai turime taikyti Gauso dėsnį paviršiui, turintį tiesinį krūvį arba paviršiaus krūvio pasiskirstymą, patogiau pavaizduoti lygtį su krūvio tankiu.
Todėl galime daryti išvadą, kad elektrinio lauko divergencija per uždarą paviršių suteikia jo uždarytą krūvio kiekį (ρ). Taikydami vektoriaus lauko divergenciją, galime sužinoti, ar vektoriaus lauko uždaras paviršius veikia kaip šaltinis, ar kriauklė.
Panagrinėkime stačiakampį, turintį teigiamą krūvį, kaip parodyta aukščiau. Kai taikome divergenciją elektriniam laukui, išeinančiam iš dėžutės (stačiakampio formos), matematinės išraiškos rezultatas rodo, kad nagrinėjama dėžutė (stačiakampė) veikia kaip apskaičiuoto elektrinio lauko šaltinis. Jei rezultatas yra neigiamas, tai mums sako, kad dėžutė veikia kaip kriauklė, ty dėžė uždaro joje neigiamą krūvį. Jei skirtumas yra nulis, tai reiškia, kad jame nėra jokio mokesčio.
Iš to galėtume spręsti, kad egzistuoja elektriniai monopoliai.
2. Gauso magnetizmo dėsnis
Mes žinome, kad magnetinio srauto linija iš šiaurės ašies į pietų ašį teka išoriškai.
Kadangi dėl nuolatinio magneto yra magnetinio srauto linijos, bus susijęs jo magnetinio srauto tankis (B). Pritaikydami divergencijos teoremą S1, S2, S3 arba S4 paviršiui, matome, kad srauto linijų, patenkančių ir išeinančių iš pasirinkto paviršiaus, skaičius išlieka toks pats. Todėl divergencijos teoremos rezultatas yra nulis. Net paviršiuose S2 ir S4 divergencija yra lygi nuliui, o tai reiškia, kad nei šiaurinis, nei pietų ašigaliai atskirai neveikia šaltinio ar nuskęsta kaip elektriniai krūviai. Net kai taikome magnetinio lauko (B) divergenciją dėl srovės nešimo laido, jis pasirodo lygus nuliui.
Gauso magnetizmo dėsnio vientisa forma yra:
Skirtinga Gauso magnetizmo dėsnio forma yra:
Iš to galėtume spręsti, kad magnetinių monopolių nėra.
3. Faradėjaus indukcijos dėsnis
Faradėjaus įstatymas teigia, kad pasikeitus magnetiniam srautui (kintančiam laiko atžvilgiu), susiejančiam ritę ar bet kurį laidininką, ritėje bus sukeltas EMF. Lenzas teigė, kad sukeltas EML bus tokia kryptimi, kad ji prieštarautų jį sukeliančiam magnetinio srauto pokyčiui.
Aukščiau pateiktoje iliustracijoje, kai laidi plokštė ar laidininkas patenka į kintančio magnetinio lauko įtaką, joje indukuojama cirkuliacinė srovė. Srovė indukuojama tokia kryptimi, kad jo sukurtas magnetinis laukas prieštarautų jį sukūrusiam kintančiam magnetui. Iš šios iliustracijos aišku, kad besikeičiantis ar kintantis magnetinis laukas sukuria cirkuliuojantį elektrinį lauką.
Pagal Faradėjaus įstatymą
emf = - dϕ / dt
Mes tai žinome, closed = uždaras paviršius ʃ B. dS emf = - (d / dt) ʃ B. dS
Elektrinis laukas E = V / d
V = ʃ E. Dl
Kadangi elektrinis laukas keičiasi paviršiaus (garbanos) atžvilgiu, egzistuoja potencialų skirtumas V.
Todėl integrali ketvirtosios Maxwello lygties forma yra
Taikant Stoke'o teoremą,
Stoke'o teoremos taikymo priežastis yra ta, kad kai imame sukamo lauko garbaną virš uždaro paviršiaus, vidiniai vektoriaus garbanos komponentai panaikina vienas kitą ir dėl to vertinamas vektoriaus laukas palei uždarą kelią.
Taigi mes galime tai parašyti,
Diferencinė Maxwello lygties forma yra
Iš minėtos išraiškos aišku, kad laiko atžvilgiu besikeičiantis magnetinis laukas sukuria cirkuliuojantį elektrinį lauką.
Pastaba: Elektrostatikoje elektrinio lauko garbanos yra lygios nuliui, nes jis iš krūvio išeina radialiai į išorę ir nėra su juo susieto sukančio komponento.
4. Ampero įstatymas
Ampero dėsnis teigia, kad kai elektros srovė teka viela, aplink ją susidaro magnetinis laukas. Matematiškai magnetinio lauko integralas aplink uždarą kilpą suteikia visą jo uždarytą srovę.
ʃ B .dl = μ 0 Aš uždarytas
Kadangi magnetinis laukas susisuka aplink laidą, galime pritaikyti Stoke'o teoremą Ampere'o dėsniui.
Todėl lygtis tampa
Mes galime pateikti uždarą srovę pagal J srovės tankį.
B = μ 0 H, naudojant šį ryšį, išraišką galime parašyti kaip
Kai sukimosi vektoriaus lauko garbanai pritaikome divergenciją, rezultatas yra lygus nuliui. Taip yra todėl, kad uždaras paviršius neveikia kaip šaltinis ar kriauklė, ty srauto, įeinančio ir išeinančio iš paviršiaus, skaičius yra vienodas. Tai matematiškai galima pavaizduoti kaip
Panagrinėkime grandinę, kaip parodyta žemiau.
Grandinėje yra prijungtas kondensatorius. Kai taikome divergenciją regione S1, rezultatas rodo, kad jis nėra nulis. Matematikos žymėjime
Kontūre yra srovės srautas, tačiau kondensatoriuje krūviai perduodami dėl kintančio elektrinio lauko per plokštes. Taigi fiziškai srovė juo neteka. Maksvelis šį kintantį elektros srautą sukūrė kaip poslinkio srovę (J D). Bet Maksvelo sugalvojo terminą Kubatūra srovė (J D) Atsižvelgiant į Faradėjaus teisei, ty simetrija, jei magnetinis laukas kinta laike gamina elektriniu lauku tada simetrija, keičiasi elektrinis laukas sukuria magnetinį lauką.
Magnetinio lauko intensyvumo (H) garbanos regione S1 yra
Integralioji Maksvelo ketvirtosios lygties forma gali būti išreikšta taip:
Diferencinė Maxwello ketvirtosios lygties forma yra:
Visos šios keturios lygtys, esančios vientisa arba diferencine forma, sujungtos, vadinamos Maxwello lygtimi.